相関比の導出

ゴルフのスコアを例に考えます。大村、中村、小村は名義尺度です。対してスコアは間隔尺度です。

ここで相関を考えるということを整理します。

相関を考えるということは、「データのばらつきが何に依存しているか」を考えるということです。

一般的な相関係数は、目的変数yのばらつきが説明変数xにどれだけ依存しているかを示しています。

今回の場合ゴルフスコアのばらつきが、プレイヤーにどれだけ依存しているのかを考えます。

まず、すべてのスコアから全平均を引き偏差を算出します。

そして、各偏差を2乗します。偏差のままでは総計が0になってしまうためです。

この「総計=714」がゴルフスコアの全分散となります。

次に3人の実力差によるばらつきを算出します。

まず3人の実力を6回のプレーの平均値と仮定します。その場合以下のようになります。

この各スコアから全平均91を引き、偏差を算出し2乗します。

ここで算出された「総計=252」は各人の実力による分散になります。

最後に各人の実力による分散をゴルフスコアの分散で割ります。

$$η^2=\frac{実力による分散}{ゴルフスコアの全分散}=\frac{252}{714}≒0.35$$

算出された「η²」は相関比と呼ばれます。

一般的な相関係数のように扱い場合は相関比の平方根を取り「η」とします。よって

$$η=\sqrt{0.35}=0.59$$

となります。多少実力による差があると言えそうな結果となりました。

最後に相関比の数式をご紹介します。

$$\eta^2=\frac{n\sum{(\overline{x}-\overline{\overline{x}})^2}}{\sum{(x-\overline{\overline{x}})^2}}$$

これで間隔尺度と名義尺度の相関が導出出来ました。

今回紹介したように、基本的に相関を求めるという事は「ばらつきの比」を求めるということを覚えておいてください。