尖度でみる正規分布の検定

分布

先日の歪度による正規分布の検定に引き続き、今回は尖度による正規分布の検定です。

尖度とは分布の尖り具合、もしくは裾野の伸び具合を示した数値です。

以下の数式で与えられます。

$$b_2=\frac{n\sum{(X-\overline{X})^4}}{[\sum{(X-\overline{X})^2}]^2}$$

実際にヒストグラムを書くとき、この尖り具合がどの程度であれば正規分布と言えるのか、見た目で判断することは難しいです。

なので尖度を計算して見える化し、正規分布である場合の尖度と比較することで正規性を検定することが出来ます。

正規分布の尖度は?

先程の図でも書いてありますが、先ほどの式で計算すると正規分布の尖度は「3」になります(別の計算法では0になるらしいです)。

検定は

$$H0:b2=3$$

という尖度=3(つまり正規分布に等しいか)を帰無仮説として実施することになります。

正規性の検定

まずb2をb2*に変換する必要があります。

$$b_2^*=\sqrt{\frac{(n+1)^2(n+3)(n+5)}{24n(n-2)(n-3)}}[b_2-\frac{3(n-1)}{n+3}]$$

このb2*に対して

$$b_2^*>u_{α/2}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{n}}(u_{α/2}^2-1)$$

もしくは

$$b_2^*<-u_{α/2}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{n}}(u_{α/2}^2-1)$$

uα/2は有意水準αのときの標準正規分布の上側100%α点です(有意水準α=5%の時は1.96)。

となった場合H0が棄却されて尖度≠3(つまり正規分布ではない)と検定されます。

特に尖度が3より小さい、すなわち尖っていて裾野が長い分布の場合検定の有意水準は名目上の値よりも小さくなります。

有意水準5%で検定を行っていたのに、実際には5%未満の有意水準での検定となってしまい、帰無仮説が棄却出来たはずなのに、棄却出来なかったという第2種の誤りを起こす可能性が増します。

これに関してはサンプルサイズが増えれば無視出来るようですが、サンプルサイズが少ない場合は尖度での正規性確認を事前に行っておく必要が特にあるようです。

 

分布検定
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