t検定の検出力について

検定

以前正規分布による平均値の検定(z検定)の検出力とサンプルサイズの算出を紹介をしました。

しかしながら、実際に検定を行う際は標準偏差は未知であり、z検定を実際に使うことはまずありません(z検定は標準偏差が既知であることが条件だからです)。

なので今回は以前紹介したz検定から派生させて実戦で使えるt検定の検出力を紹介します。

t検定の検出力の計算

検出力1-βは対立仮説H1が

$$H1:μ≠μ_0$$

のもとで計算します。この場合においてt0

$$t_0=\frac{\overline{x}-μ_0}{\sqrt{V/n}}$$

はt分布ではなく、非心t分布に従います。(はサンプルの平均で、Vはサンプルの分散、nはサンプルサイズです)

この非心t分布はかなり難しいらしく、本では近似的に確率を導く式が紹介されていました。

続けますが、検出力1-βはH1対立仮説が採択される場合

$$1-β=Pr[|t_0|≧t(φ,α)]=Pr[t_0≦-t(φ,α)]+Pr[t_0≧t(φ,α)]$$

と求めます。この場合のφは自由度でαは有意水準です。

そしてここからが肝心なのですが、先述したようにt0は非心t分布に従います。

そしてt0が非心t分布に従う場合のPrの値は以下の近似式

$$Pr(t’ ≦ w)≈Pr[u≦\frac{w[1-1/4φ]-λ]}{\sqrt{1+w^2/(2φ)}}]$$

に従います。wはt(φ,α)のときのt値で、u~N(0,1)です。

不等号「≦」から右の項が1.96の場合はPrは0.025になるというような計算をします(つまり正規分布表と照らし合わせる)。

そしてλは

$$λ=\sqrt{n}Δ$$

で表せる非心パラメータという数値です。Δは効果量です。

$$Δ=\frac{μ-μ_0}{σ}$$

実際に計算してみましょう

有意水準α=0.05、サンプルサイズn=9、効果量Δ=(μ-μ0)/σ=0.6の場合を考えてみましょう。

この場合t0は自由度φ=9-1=8、非心パラメータλ=√nΔ=√9×0.6=1.8の非心t分布に従いますので、近似式の計算は

$$1-β=Pr[t_0≦-t(8,0.05)]+Pr[t_0≧t(8,0.05)]$$

$$=Pr[t_0≦-2.306]+Pr[t_0≧2.306]$$

$$=Pr[t_0≦-2.306]+[1-Pr[t_0≦2.306]]$$

$$=Pr[u≦\frac{-2.306[1-1/(4×8)]-1.8]}{\sqrt{1+(-2.306)^2/(2×8)}}]+$$

$$1-Pr[u≦\frac{2.306[1-1/(4×8)]-1.8]}{\sqrt{1+(2.306)^2/(2×8)}}]$$

$$=Pr[u≦-3.495]+1-Pr[u≦0.376]=0.354$$

このように検出力は35.4%となります。(一般的には80%は欲しいのでこの値は低いです)

まとめ

このようにt検定での検出力の計算は、z検定におけるものより難しいものとなっています。

詳しくは以下の本を参照するとよろしいかと思います。

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近似式のu≦~以降の右式が算出出来たら、そこからの計算はエクセルのNORMSDIST関数で出来るようです。

実戦する前に色々と値を変えて計算してみることをお勧めします。

 

 

 

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