歪度でみる正規分布の検定

分布

歪度とは分布が対称であるかを示す値です。

以下の式で与えられる数値になります。

$$\sqrt{b_1}=\frac{\sqrt{n}\sum{(X-\overline{X})^3}}{[\sum{(X-\overline{X})^2}]^{3/2}}$$

実際に採取したデータでヒストグラムを書くと、対称性が保たれていないことの方が多いです。

故にどの程度までの対称性のズレが許容出来るのかというのは、皆さん関心があるのではないでしょうか。

正規分布の歪度は?

正規分布の歪度は「0」です。

先ほど述べた対称性のズレというのは、無論同データから導き出せる平均値と標準偏差から作図される正規分布に対してのズレという意味です(正規分布はの形状は平均値と標準偏差で決定されます)。

データの正規性を歪度に注目して検定する場合は、

$$H0:\sqrt{b_1}=0$$

という歪度=0(正規分布に等しいか)を帰無仮説として実施することになります。

正規性の検定

歪度による正規性の検定は以下の式で行います。

$$|\sqrt{b_1}|>\sqrt{\frac{(n+1)^2(n+3)(n+5)}{24n(n-2)(n-3)}}[u_{α/2}+\frac{3}{2n}(u_{α/2}^3-3u_{α/2})]$$

uα/2は有意水準αのときの標準正規分布の上側100%α点です(有意水準α=5%の時は1.96)。

上式が成立した場合、H0帰無仮説を棄却します(つまり正規性は無いとなります)。

歪度の影響は特に片側検定の場合に、大きくなると言われています。

とは言ってみたものの最近読んだ本から、ほぼそのまま抽出しただけで実用したことがありません。

一度機会を見つけて使いにくさ等を確認してみます。

そこで発見があったら、またアップしたいと思います。

分布検定
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